已知r（α
1
，α
2
，α
3
）=2，r（α
2
，α
3
，α
4
）=3，证明：
（Ⅰ）α
1
能由α
2
，α
3
线性表示；
（Ⅱ）α
4
不能由α
1
，α
2
，α
3
线性表示。
【正确答案】正确答案：（Ⅰ）r（α
1
，α
2
，α
3
）=2＜3
α
1
，α
2
，α
3
线性相关； 假设α
1
不能由α
2
，α
3
线性表示，则α
2
，α
3
线性相关。 而由r（α
2
，α
3
，α
4
）=3
α
2
，α
3
，α
4
线性无关
α
2
，α
3
线性无关，与假设矛盾。 综上所述，α
1
必能由α
2
，α
3
线性表示。 （Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，α
1
可由α
2
，α
3
线性表示，则若α
4
能由α
1
，α
2
，α
3
线性表示
α
1
，α
2
，α
3
线性相关； 假设α
1
不能由α
2
，α
3
线性表示，则α
2
，α
3
线性相关。 而由r（α
2
，α
3
，α
4
）=3
α
2
，α
3
，α
4
线性无关
α
2
，α
3
线性无关，与假设矛盾。 综上所述，α
1
必能由α
2
，α
3
线性表示。 （Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，α
1
可由α
2
，α
3
线性表示，则若α
4
能由α
1
，α
2
，α
3
线性表示
【答案解析】