设A是3阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
是3维线性无关的列向量，且
Aα
1
=α
1
一α
2
+3α
3
， Aα
2
=4α
1
一3α
2
+5α
3
， Aα
3
=0．
求矩阵A的特征值和特征向量．
【正确答案】正确答案：由Aα
3
=0=0α
3
，知λ=0是A的特征值，α
3
是λ=0的特征向量． 由已知条件，有 A(α
1
，α
2
，α
3
)=(α
1
一α
2
+3α
3
，4α
1
一3α
2
+5α
3
，0) =(α
1
，α
2
，α
3
)
记P=(α
1
，α
2
，α
3
)，由α
1
，α
2
，α
3
线性无关，知矩阵P可逆，进而 P
－1
AP=B， 其中B=
因为相似矩阵有相同的特征值，而矩阵B的特征多项式
所以矩阵A的特征值是：一1，一1，0． 对于矩阵B，
所以矩阵B关于特征值λ=－1的特征向量是β=(一2，1，1)
T
． 若Bβ=λβ，即(P
－1
AP)β=λβ，亦即A(Pβ)=λ(Pβ)，那么矩阵A关于特征值λ=－1的特征向量是 Pβ=(α
1
，α
2
，α
3
)
记P=(α
1
，α
2
，α
3
)，由α
1
，α
2
，α
3
线性无关，知矩阵P可逆，进而 P
－1
AP=B， 其中B=
因为相似矩阵有相同的特征值，而矩阵B的特征多项式
所以矩阵A的特征值是：一1，一1，0． 对于矩阵B，
所以矩阵B关于特征值λ=－1的特征向量是β=(一2，1，1)
T
． 若Bβ=λβ，即(P
－1
AP)β=λβ，亦即A(Pβ)=λ(Pβ)，那么矩阵A关于特征值λ=－1的特征向量是 Pβ=(α
1
，α
2
，α
3
)
【答案解析】