设数列｛a
n
｝满足a
1
=a
2
=1，且a
n+1
=a
n
+a
n－1
，n=2，3，…．证明：在｜x｜＜
时幂级数
时幂级数
【正确答案】正确答案：(1)显然，｛a
n
｝是正项严格单调增加数列，且有a
3
=2，a
4
=a
2
+a
3
＜2a
3
=2
2
，假设a
n
＜2
n－2
，则有a
n+1
=a
n
+a
n－1
＜2a
n
＜2
n－1
，故由归纳法得a
n
n－2．于是，所考虑的级数的通项有｜a
n
x
n－1
｜＜
(2x)
n－1
．因级数
(2x)
n－1
在｜2x｜＜1时收敛，故由比较审敛法知，级数
a
n
x
n－1
在｜2x｜＜1，即｜x｜＜
时绝对收敛． (2)原幂级数化为
移项后得原幂级数的和函数为
(3)将
展开为x的幂级数，有
而
又是幂级数
的和函数，则由幂级数展开式的唯一性，经比较系数得原幂 级数的系数，
(2x)
n－1
．因级数
(2x)
n－1
在｜2x｜＜1时收敛，故由比较审敛法知，级数
a
n
x
n－1
在｜2x｜＜1，即｜x｜＜
时绝对收敛． (2)原幂级数化为
移项后得原幂级数的和函数为
(3)将
展开为x的幂级数，有
而
又是幂级数
的和函数，则由幂级数展开式的唯一性，经比较系数得原幂 级数的系数，
【答案解析】