已知α
1
=(1，3，5，-1)
T
，α
2
=(2，7，a，4)
T
，α
3
=(5，17，-1，7)
T
。
(Ⅰ)若α
1
，α
2
，α
3
线性相关，求a的值；
(Ⅱ)当a=3时，求与α
1
，α
2
，α
3
都正交的非零向量α
4
；
(Ⅲ)当a=3时，利用(Ⅱ)的结果，证明α
1
，α
2
，α
3
，α
4
可表示任一个4维列向量。
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)α
1
，α
2
，α
3
线性相关
秩R(α
1
，α
2
，α
3
)＜3。由于 (α
1
，α
2
，α
3
)=
所以a=-3。 (Ⅱ)设α
4
=(x
1
，x
2
，x
3
，x
4
)
T
。由内积[α
1
，α
4
]=0，[α
2
，α
4
]=0，[α
3
，α
4
]=0，得方程组
对力程组的系数矩阵作初等变换，即
于是得同解方程组
秩R(α
1
，α
2
，α
3
)＜3。由于 (α
1
，α
2
，α
3
)=
所以a=-3。 (Ⅱ)设α
4
=(x
1
，x
2
，x
3
，x
4
)
T
。由内积[α
1
，α
4
]=0，[α
2
，α
4
]=0，[α
3
，α
4
]=0，得方程组
对力程组的系数矩阵作初等变换，即
于是得同解方程组
【答案解析】