解答题
19.设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=O，其中
【正确答案】(1)由AB+B=O得(E+A)b=o，从而r(E+A)+r(B)≤3，
因为r(B)=2，所以r(E+A)≤1，从而λ=一1为A的特征值且不低于2重，
显然λ=一1不可能为三重特征值，则A的特征值为λ1=λ2=一1，λ3=5．
由(E+A)B=O得B的列组为(E+A)X=O的解，
故
为λ1=λ2=一1对应的线性无关解．
令
为λ3=5对应的特征向量，
因为AT=A，所以
因为r(B)=2，所以r(E+A)≤1，从而λ=一1为A的特征值且不低于2重，
显然λ=一1不可能为三重特征值，则A的特征值为λ1=λ2=一1，λ3=5．
由(E+A)B=O得B的列组为(E+A)X=O的解，
故
为λ1=λ2=一1对应的线性无关解．令
为λ3=5对应的特征向量，因为AT=A，所以
【答案解析】