【正确答案】
【答案解析】证法1 令F(x)=f(x)+f(x
2
)-f(x+x
2
)，F(0)=0，又F"(x)=f"(x)-f"(x+x
2
)=f"(ξ)(-x
2
)＞0．ξ∈(x，x+x
2
)(拉格朗日中值定理)，故F(x
1
)＞F(0)=0，x
1
＞0，即f(x
1
)+f(x
2
)-f(x
1
+x
2
)＞0．
证法2 不妨设x
1
≤x
2
(x
2
≤x
1
时类似可证)，则由拉格朗日中值定理可得
f(x
1
)-f(0)=x
1
f"(ξ
1
)，0＜ξ
1
＜x
1
，
f(x
1
+x
2
)-f(x
2
)=x
1
f"(ξ
2
)，x
2
＜ξ
2
＜x
1
+x
2
．
又已知f"(x)＜0，故f"(ξ
2
)＜f"(ξ
1
)．比较以上两式即得
f(x
1
+x
2
)＜f(x
1
)+f(x
2
)．
证法1采用把其中一个常量字母x
1
改为变量x(常数变量化)转化为函数不等式，再利用单调性的手段加以证明，这种方法是证明这类常数不等式常用的一种方法．