问答题
设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数．
(Ⅰ)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积．
(Ⅱ)又设f(x)在区间(0，1)内可导，且
(Ⅰ)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积．
(Ⅱ)又设f(x)在区间(0，1)内可导，且
【正确答案】区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积为x0f(x0)，区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积为[*]
本题要证明存在x0∈(0，1)，使
[*]
则F(x)在[0，1]上连续，且在(0，1)内可导，又
F(0)=[0，F(1)]=0
由罗尔定理知，存在x0∈(0，1)，使
F(x0)=0
即
[*]
则F'(x)在(0，1)内单调减，则使
F'(x0)=0 x0∈(0，1)
的x0是唯一的．
本题要证明存在x0∈(0，1)，使
[*]
则F(x)在[0，1]上连续，且在(0，1)内可导，又
F(0)=[0，F(1)]=0
由罗尔定理知，存在x0∈(0，1)，使
F(x0)=0
即
[*]
则F'(x)在(0，1)内单调减，则使
F'(x0)=0 x0∈(0，1)
的x0是唯一的．
【答案解析】