解答题
5.(95年)已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝4χ22－3χ32＋4χ1χ2－4χ1χ3＋8χ2χ3．
(1)写出二次型．厂的矩阵表达式；
(2)用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵．
(1)写出二次型．厂的矩阵表达式；
(2)用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵．
【正确答案】(1)f的矩阵表达式为
f(χ1，χ2，χ3)＝(χ1，χ2，χ3)
(2)f的矩阵为
由A的特征方程
得A的全部特征值为λ1＝1，λ2＝6，λ3＝－6．计算可得，对应的特征向量分别可取为
α1＝(2，0，一1)T，α2＝(1，5，2)T，α3＝(1，－1，2)T
对应的单位特征向量为
由此可得所求的正交矩阵为
P＝[β1 β2 β3]＝
对二次型f作正交变换
f(χ1，χ2，χ3)＝(χ1，χ2，χ3)
(2)f的矩阵为
由A的特征方程
得A的全部特征值为λ1＝1，λ2＝6，λ3＝－6．计算可得，对应的特征向量分别可取为
α1＝(2，0，一1)T，α2＝(1，5，2)T，α3＝(1，－1，2)T
对应的单位特征向量为
由此可得所求的正交矩阵为
P＝[β1 β2 β3]＝
对二次型f作正交变换
【答案解析】