解答题
1.设f(x)在区间[一a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)=0．
(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；
(2)证明在[一a，a]上至少存在一点η，使a3f"(η)=3∫一aaf(x)dx．
(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；
(2)证明在[一a，a]上至少存在一点η，使a3f"(η)=3∫一aaf(x)dx．
【正确答案】(1)对任意的x∈[一a，a]
f(x)=f(0)+f'(0)x+
其中ξ在0与x之间．
(2)∫一aa(x)dx=∫一aa f'(0)xdx+∫一aa
∫一aax2f"(ξ)dx
因为f"(x)在[一a，a]上连续，故对任意的x∈[一a，a]，有m≤f"(x)≤M，其中M，m分别为f"(x)在[一a，a]上的最大，最小值，所以
因而由f"(x)的连续性知，至少存在一点η∈[一a，a]，使
f"(η)=
f(x)=f(0)+f'(0)x+
其中ξ在0与x之间．
(2)∫一aa(x)dx=∫一aa f'(0)xdx+∫一aa
∫一aax2f"(ξ)dx因为f"(x)在[一a，a]上连续，故对任意的x∈[一a，a]，有m≤f"(x)≤M，其中M，m分别为f"(x)在[一a，a]上的最大，最小值，所以
因而由f"(x)的连续性知，至少存在一点η∈[一a，a]，使
f"(η)=
【答案解析】