问答题
设线性方程组为
【正确答案】正确答案：(1)增广矩阵的行列式是一个范德蒙行列式，其值等于
=(a
2
一a
1
)(a
3
一a
1
)(a
4
一a
1
)(a
3
—a
2
)(a
4
一a
2
)(a
4
一a
3
)． 于是，当a
1
，a
2
，a
3
，a
4
两两不同时，增广矩阵的行列式不为0，秩为4，而系数矩阵的秩为3．因此，方程组无解． 如果a
1
，a
2
，a
3
，a
4
不是两两不同，则相同参数对应一样的方程．于是只要看有几个不同，就只留下几个方程． ①如果有3个不同，不妨设a
1
，a
2
，a
3
两两不同，a
4
等于其中之一，则可去掉第4个方程，得原方程组的同解方程组
它的系数矩阵是范德蒙行列式，值等于(a
2
—a
1
)(a
3
一a
1
)(a
3
一a
2
)≠0，因此方程组有唯一解． ②如果不同的少于3个，则只用留下2个或1个方程，此时方程组有无穷多解． (2)此时第3，4两个方程分别就是第1，2方程，可抛弃，得
(一1，1，1)
T
和(1，1，一1)
T
都是解，它们的差(一2，0，2)
T
是导出组的一个非零解．本题未知数个数为3，而系数矩阵
=(a
2
一a
1
)(a
3
一a
1
)(a
4
一a
1
)(a
3
—a
2
)(a
4
一a
2
)(a
4
一a
3
)． 于是，当a
1
，a
2
，a
3
，a
4
两两不同时，增广矩阵的行列式不为0，秩为4，而系数矩阵的秩为3．因此，方程组无解． 如果a
1
，a
2
，a
3
，a
4
不是两两不同，则相同参数对应一样的方程．于是只要看有几个不同，就只留下几个方程． ①如果有3个不同，不妨设a
1
，a
2
，a
3
两两不同，a
4
等于其中之一，则可去掉第4个方程，得原方程组的同解方程组
它的系数矩阵是范德蒙行列式，值等于(a
2
—a
1
)(a
3
一a
1
)(a
3
一a
2
)≠0，因此方程组有唯一解． ②如果不同的少于3个，则只用留下2个或1个方程，此时方程组有无穷多解． (2)此时第3，4两个方程分别就是第1，2方程，可抛弃，得
(一1，1，1)
T
和(1，1，一1)
T
都是解，它们的差(一2，0，2)
T
是导出组的一个非零解．本题未知数个数为3，而系数矩阵
【答案解析】