解答题
[2017年] 设函数f(x)在[0，1]上具有二阶导数，且f(1)＞0，
问答题
8.方程f(x)在(0，1)内至少有一个实根；
【正确答案】利用零点定理和罗尔定理证明．
由
＜0，可知，f(0)=0．根据极限的保号性知，在0的去心邻域内，必存在一点c，使得f(c)＜0，由题意f(1)＞0，则f(c)．f(1)＜0，由零点定理知，必存在一点ξ1∈(c，1)
由
＜0，可知，f(0)=0．根据极限的保号性知，在0的去心邻域内，必存在一点c，使得f(c)＜0，由题意f(1)＞0，则f(c)．f(1)＜0，由零点定理知，必存在一点ξ1∈(c，1)【答案解析】
问答题
9.方程f(x)f″(x)+[f′(x)]2=0，在(0，1)内至少有两个不同的实根．
【正确答案】由罗尔定理知，存在ξ2∈(0，ξ1)，使得f′(ξ2)=0．
构造辅助函数F(x)=f(x)f′(x)，则F(0)=F(ξ2)=F(ξ1)=0．
再根据罗尔定理可得，存在η1∈(0，ξ2)，ξ2∈(ξ2，ξ1)，使得
F′(η1)=F′(η2)=0．结论得证．
构造辅助函数F(x)=f(x)f′(x)，则F(0)=F(ξ2)=F(ξ1)=0．
再根据罗尔定理可得，存在η1∈(0，ξ2)，ξ2∈(ξ2，ξ1)，使得
F′(η1)=F′(η2)=0．结论得证．
【答案解析】