解答题
14.设A是n阶矩阵，证明方程组Ax=b对任何b都有解的充分必要条件是｜A｜≠0．
【正确答案】必要性．对矩阵A按列分块A=(α1，α2，…，αn)，则
，Ax=b有解
α1，α2，…，αn可表示任何n维向量b
α1，α2，…，αn可表
示e1=(1，0，0，…，0)T，e2=(0，1，0，…，0)T，…，en=(0，0，0，…，1)T
r(α1，α2，…，αn)≥r(e1，e2，…，en)=n
r(A)=n．
所以｜A｜≠0．
充分性．由克莱姆法则，行列式｜A｜≠0时方程组必有唯一解，故
，Ax=b有解α1，α2，…，αn可表示任何n维向量bα1，α2，…，αn可表示e1=(1，0，0，…，0)T，e2=(0，1，0，…，0)T，…，en=(0，0，0，…，1)T
r(α1，α2，…，αn)≥r(e1，e2，…，en)=nr(A)=n．所以｜A｜≠0．
充分性．由克莱姆法则，行列式｜A｜≠0时方程组必有唯一解，故
【答案解析】