问答题
已知向量α
1
=(1，2，3，0)
T
，α
2
=(1，1，3，-s)
T
，α
3
=(3，5，8，-2)
T
，β=(3，3，t，-6)
T
．问：
(Ⅰ)s，t取何值时β不能由α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示?
(Ⅱ)s，t取何值时β能由α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示?并写出表示式．
(Ⅰ)s，t取何值时β不能由α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示?
(Ⅱ)s，t取何值时β能由α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示?并写出表示式．
【正确答案】
【答案解析】设有一组数x
1
，x
2
，x
3
，使
令
(Ⅰ)当s≠2，t≠6时，r(A)=3＜4=
，方程组(*)无解，β不能由α
1
，α
2
，α
3
线性表示．
(Ⅱ)(1)当s=2，t为任意实数时，
，方程组有唯一解，此时有
即
．
于是β=(2t-18)α 1 +(t-6)α 2 +(9-t)α 1 ．
(2)当t=6，s为任意实数时，
，方程组有唯一解，此时有
，即
x1α1+x2α2+x3α3=β
(*)
令
(Ⅰ)当s≠2，t≠6时，r(A)=3＜4=
，方程组(*)无解，β不能由α
1
，α
2
，α
3
线性表示．
(Ⅱ)(1)当s=2，t为任意实数时，
，方程组有唯一解，此时有
．
于是β=(2t-18)α 1 +(t-6)α 2 +(9-t)α 1 ．
(2)当t=6，s为任意实数时，
，方程组有唯一解，此时有
，即