选择题
1.[2016年] 已知函数
则f(x)的一个原函数是( )．
则f(x)的一个原函数是( )．
【正确答案】
D
【答案解析】因f(x)为分段函数，其原函数F(x)也必分段求之．
x＜1时，F(x)=∫f(x)dx=∫2(x一1)dx=(x一1)2+C1，
x≥1时，F(x)=∫f(x)dx=∫lnxdx=xlnx一∫xdlnx=xlnx一∫dx=xlnx—x+C2=x(lnx一1)+C2．
因原函数F(x)可导，故F(x)连续，因而当x=1时，有F(1+0)=F(1—0)，其中
故C1=C2一1．于是
其中C1为任意实数．可令C1取一个实数，例如令C1=0，可得到f(x)的一个原函数
x＜1时，F(x)=∫f(x)dx=∫2(x一1)dx=(x一1)2+C1，
x≥1时，F(x)=∫f(x)dx=∫lnxdx=xlnx一∫xdlnx=xlnx一∫dx=xlnx—x+C2=x(lnx一1)+C2．
因原函数F(x)可导，故F(x)连续，因而当x=1时，有F(1+0)=F(1—0)，其中
故C1=C2一1．于是
其中C1为任意实数．可令C1取一个实数，例如令C1=0，可得到f(x)的一个原函数