单选题
下述命题
①设f(x)在任意的闭区间[a，b]上连续，则f(x)在(-∞，+∞)上连续．
②设f(x)在任意的闭区间[a，b]上有界，则f(x)在(-∞，+∞)上有界．
③设f(x)在(-∞，+∞)上为正值的连续函数，则
在(-∞，+∞)上也是正值的连续函数．
④设f(x)在(-∞，+∞)上为正值的有界函数，则
①设f(x)在任意的闭区间[a，b]上连续，则f(x)在(-∞，+∞)上连续．
②设f(x)在任意的闭区间[a，b]上有界，则f(x)在(-∞，+∞)上有界．
③设f(x)在(-∞，+∞)上为正值的连续函数，则
在(-∞，+∞)上也是正值的连续函数．④设f(x)在(-∞，+∞)上为正值的有界函数，则
【正确答案】
B
【答案解析】[解析] ①与③是正确的，②与④是不正确的，正确的个数为2．
①是正确的，理由如下：设x0为区间(-∞，+∞)上任意确定的一点，那么它必含于某闭区间[a，b]中，由于f(x)在任意闭区间上连续，所以f(x)在x0处连续，所以f(x)在(-∞，+∞)上连续．这里论证的关键之处是：函数f(x)的连续性是按点来讨论的．在区间上每一点连续，就说它在该区间上连续．
②函数f(x)在[a，b]上有界性的“界”是与区间有关的，例如f(x)=x在区间[a，b]上，[*]，所以f(x)在[a，b]上有界．这个“界”与[a，b]有关．容易看出，若在区间(-∞，+∞)上讨论，f(x)=x就无界了．②不正确．
③是正确的，其理由是：设x0为(-∞，+∞)内任意一点，所以f(x)在x0处连续且f(x0)＞0，由连续函数四则运算定理知，[*]在x=x0处也连续．所以③正确．
④是不正确的．例如函数[*]，在区间(-∞，+∞)上有0＜f(x)≤1，所以f(x)在(-∞，+∞)上有界．但[*]在(-∞，+∞)上无界，这是因为当x→±∞时[*]→+∞．
①是正确的，理由如下：设x0为区间(-∞，+∞)上任意确定的一点，那么它必含于某闭区间[a，b]中，由于f(x)在任意闭区间上连续，所以f(x)在x0处连续，所以f(x)在(-∞，+∞)上连续．这里论证的关键之处是：函数f(x)的连续性是按点来讨论的．在区间上每一点连续，就说它在该区间上连续．
②函数f(x)在[a，b]上有界性的“界”是与区间有关的，例如f(x)=x在区间[a，b]上，[*]，所以f(x)在[a，b]上有界．这个“界”与[a，b]有关．容易看出，若在区间(-∞，+∞)上讨论，f(x)=x就无界了．②不正确．
③是正确的，其理由是：设x0为(-∞，+∞)内任意一点，所以f(x)在x0处连续且f(x0)＞0，由连续函数四则运算定理知，[*]在x=x0处也连续．所以③正确．
④是不正确的．例如函数[*]，在区间(-∞，+∞)上有0＜f(x)≤1，所以f(x)在(-∞，+∞)上有界．但[*]在(-∞，+∞)上无界，这是因为当x→±∞时[*]→+∞．