问答题
(1)求函数项级数e
－x
+2e
－2x
+…+ne
－nx
+…收敛时x的取值范围；
(2)当上述级数收敛时，求其和函数S(x)，并求∫
ln2
ln3
S(x)dx．
【正确答案】正确答案：(1)该函数项级数的通项 u
n
(x)=ne
－nx
，u
n+1
(x)=(n+1)e
－(n+1)x
． 故当
收敛； 当x＜0时，
发散； 当x=0时，该级数成为1+2+???+n+…，显然是发散的． 综上，当x＞0时该级数收敛于S(x)． (2)S(x)=e
－x
+2e
－2x
+…+ne
－nx
+…
t+2t
2
+…+nt
n
+… =t(1+2t+…+nt
n－1
+…)=t(t+t
2
+…+t
n
+…)'
收敛； 当x＜0时，
发散； 当x=0时，该级数成为1+2+???+n+…，显然是发散的． 综上，当x＞0时该级数收敛于S(x)． (2)S(x)=e
－x
+2e
－2x
+…+ne
－nx
+…
t+2t
2
+…+nt
n
+… =t(1+2t+…+nt
n－1
+…)=t(t+t
2
+…+t
n
+…)'
【答案解析】