问答题
设随机变量X，Y相互独立，其概率密度函数分别为
【正确答案】正确答案：由已知，(X，Y)的联合密度为 f(χ，y)＝f
χ
(χ)f
Y
(y)＝
而Z的分布函数为 F
Z
(z)＝P(Z≤z)＝P(2X＋Y≤z)＝
(χ，y)dχdy． 当
≤0即z≤0时，F
Z
(z)＝0 (图4．3(a)) 当0≤
≤1即0≤χ≤2时， F
Z
(z)＝
e
-y
dχdy＝∫
0
z
e
-y
dy
dχ＝
(z∫
0
z
e
-y
dy－∫
0
z
ye
-y
dy) (图4．3(b)) 当
＞1即z＞2时， F
Z
(z)＝
e
-y
dχdy＝∫
0
1
dχ∫
0
z-2χ
e
-y
dy＝∫
0
1
[1－e
2χ-z
]dχ＝－
(e
2
－1)e
-z
(图4．3(c)
则Z的概率密度为
而Z的分布函数为 F
Z
(z)＝P(Z≤z)＝P(2X＋Y≤z)＝
(χ，y)dχdy． 当
≤0即z≤0时，F
Z
(z)＝0 (图4．3(a)) 当0≤
≤1即0≤χ≤2时， F
Z
(z)＝
e
-y
dχdy＝∫
0
z
e
-y
dy
dχ＝
(z∫
0
z
e
-y
dy－∫
0
z
ye
-y
dy) (图4．3(b)) 当
＞1即z＞2时， F
Z
(z)＝
e
-y
dχdy＝∫
0
1
dχ∫
0
z-2χ
e
-y
dy＝∫
0
1
[1－e
2χ-z
]dχ＝－
(e
2
－1)e
-z
(图4．3(c)
则Z的概率密度为
【答案解析】