已知4阶方阵A=[α
1
，α
2
，α
3
，α
4
]，α
1
，α
2
，α
3
，α
4
均为4维列向量，其中α
2
，α
3
，α
4
线性无关，α
1
=2α
2
-α
3
，如果β=α
1
+α
2
+α
3
，α
4
，求线性方程组AX=β的通解．
【正确答案】正确答案：方法一 由α
1
=2α
2
-α
3
及α
2
，α
3
，α
4
线性无关知r(A)=r(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
)=3．且对应齐次方程组AX=0有通解k[1，-2，1，0]
T
，又β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
，即 [α
1
，α
2
，α
3
，α
4
]X=β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
=[α
1
，α
2
，α
3
，α
4
]
故非齐次方程组有特解η=[1，1，l，1]
T
，故方程组的通解为k[1，-2，1，0]
T
+[1，1，1，1]
T
． 方法二 [α
1
，α
2
，α
3
，α
4
]X=β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
=[α
1
，α
2
，α
3
，α
4
]
=(2α
2
-α
3
)+α
2
+α
3
+α
4
=3α
2
+α
4
=[α
1
，α
2
，α
3
，α
4
]
故方程组有两特解η
1
=[1，1，1，1]
T
，η
2
=[0，3，0，1]
T
． 对r(A)=3，故方程组的通解为 K(η
1
-η
2
)+η
1
=k[1，-2，1，0]
T
+[1，1，1，1]
T
． 方法三 由AX=[α
1
，α
2
，α
3
，α
4
]X=β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
，得 x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
将α
1
=2α
2
-α
3
代人，整理得 (2x
1
+x
2
-3)α
2
+(-x
1
+x
3
)α
3
+(x
4
-1)α
4
=0， α
2
，α
3
，α
4
线性无关，得
解方程组，得
故非齐次方程组有特解η=[1，1，l，1]
T
，故方程组的通解为k[1，-2，1，0]
T
+[1，1，1，1]
T
． 方法二 [α
1
，α
2
，α
3
，α
4
]X=β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
=[α
1
，α
2
，α
3
，α
4
]
=(2α
2
-α
3
)+α
2
+α
3
+α
4
=3α
2
+α
4
=[α
1
，α
2
，α
3
，α
4
]
故方程组有两特解η
1
=[1，1，1，1]
T
，η
2
=[0，3，0，1]
T
． 对r(A)=3，故方程组的通解为 K(η
1
-η
2
)+η
1
=k[1，-2，1，0]
T
+[1，1，1，1]
T
． 方法三 由AX=[α
1
，α
2
，α
3
，α
4
]X=β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
，得 x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
将α
1
=2α
2
-α
3
代人，整理得 (2x
1
+x
2
-3)α
2
+(-x
1
+x
3
)α
3
+(x
4
-1)α
4
=0， α
2
，α
3
，α
4
线性无关，得
解方程组，得
【答案解析】