解答题
25.设有n元实二次型
f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，
其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问当a1，a2，…，an满足何种条件时，该二次型为正定二次型．
f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，
其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问当a1，a2，…，an满足何种条件时，该二次型为正定二次型．
【正确答案】根据定义，二次型f(X)=(x1，x2，…，xn)正定是指对任何X≠0，恒有f(X)=XTAX＞0．由其逆否命题知，此条件等价于f(X)=XTAX≤0时，X=0．由题设知f(X)＜0不可能，故等价于f(X)=XTAX=0时有X=0，亦即等价于方程组
只有零解．当上述方程组只有零解时，就必有当X≠0时，x1+a1x2，x2+a2x3，…恒不全为零，从而恒有XTAX＞0，则f=XTAX是正定二次型．而上述方程组只有零解的充要条件是其系数行列式
只有零解．当上述方程组只有零解时，就必有当X≠0时，x1+a1x2，x2+a2x3，…恒不全为零，从而恒有XTAX＞0，则f=XTAX是正定二次型．而上述方程组只有零解的充要条件是其系数行列式
【答案解析】