【正确答案】正确答案：考察积分区域与被积函数的特点，选择适当方法求解． (Ⅰ)尽管D的边界不是圆弧，但由被积函数的特点知选用极坐标比较方便． D的边界线x=1及y=1的极坐标方程分别为 (Ⅱ)在积分区域D上被积函数分块表示，若用分块积分法较复杂．因D是圆域，可用极坐标变换，转化为考虑定积分的被积函数是分段表示的情形．这时可利用周期函数的积分性质． 作极坐标变换x=reosθ，y=rsinθ，则D：0≤θ≤2π，0≤r≤1．从而 I=∫ ₀ ^2π 3cosθ+4sinθ｜dθ∫ ₀ ¹ r．rdr = ∫ ₀ ^2π ｜sin(θ+θ ₀ )｜dθ， 其中sinθ ₀ = ．由周期函数的积分性质，令t=θ+θ ₀ 就有 (Ⅲ)D的图形如图9．53所示．若把D看成正方形区域挖去半圆D ₁ ，则计算D ₁ 上的积分自然选用极坐标变换．若只考虑区域D，则自然考虑先x后y的积分顺序化为累次积分．若注意D关于直线y=1对称，选择平移变换则最为方便． 作平移变换u=x，v=y—1，注意曲线x=一 即x ² +(y一1) ² =1，x≤0，则D变成D'．D'由u=一2，v=一1，v=1，u ² +v ² =1(u≤0)围成，则