求下列各微分方程的通解：
(Ⅰ)(3x
2
+6xy
2
)dx+(6x
2
y+4y
3
)dy=0；
(Ⅱ)
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)由凑微分法易知，这是全微分方程，改写成 dx
3
+3y
2
dx
2
+3x
2
dy
2
+dy
4
=0，即d(x
3
+3x
2
y
2
+y
4
)=0． 于是即得其通解为x
3
+3x
2
y
2
+y
4
=C，其中C为任意常数． (Ⅱ)经计算容易验证：
+x
2
－lnx)，所以它也是全微分方程，然而，由于方程中含lnx，则只能在半平面x＞0上考虑．为求原函数，现设积分路径从点(1，0)开始，首先沿x轴积到点(x，0)，然后再沿横坐标为石的直线积到点(x，y)，有 u(x，y)=
+x
2
－lnx)y． 于是即得其通解为(
+x
2
－lnx)，所以它也是全微分方程，然而，由于方程中含lnx，则只能在半平面x＞0上考虑．为求原函数，现设积分路径从点(1，0)开始，首先沿x轴积到点(x，0)，然后再沿横坐标为石的直线积到点(x，y)，有 u(x，y)=
+x
2
－lnx)y． 于是即得其通解为(
【答案解析】