问答题
如果数列{x
n
}收敛，{y
n
}发散，那么{x
n
y
n
}是否一定发散?如果{x
n
}和{y
n
}都发散，那么{x
n
y
n
}的敛散性又将如何?
【正确答案】正确答案：在题设两种情况下，{x
n
y
n
}的敛散性都不能确定．现在先就{x
n
}收敛，{y
n
}发散的情况来分析．利用
(x
n
≠0)这个恒等式，就可得到下述结论：若{x
n
}收敛且不收敛于零，{y
n
}发散，则{x
n
y
n
}必发散．这是因为若{x
n
y
n
}收敛，且又{x
n
}收敛且极限不等于零，则从上述恒等式及极限相除法则，可知{y
n
}收敛，这与假设矛盾．若
，且{y
n
}发散，则{x
n
y
n
}可能收敛，也可能发散，如： ①x
n
=
y
n
=n，则x
n
y
n
=1，于是{x
n
y
n
}收敛； ②x
n
=
y
n
=(一1)
n
n，则x
n
y
n
=(一1)
n
，于是{x
n
y
n
}发散． 现在再就{x
n
}和{y
n
}都发散的情况来分析{x
n
y
n
}的敛散性．有下面的结论：若{x
n
}和{y
n
}都发散，且两者至少有一个是无穷大，则{x
n
y
n
}必发散．这是因为如果{x
n
y
n
}收敛，而{x
n
}为无穷大，从等式
(x
n
≠0)这个恒等式，就可得到下述结论：若{x
n
}收敛且不收敛于零，{y
n
}发散，则{x
n
y
n
}必发散．这是因为若{x
n
y
n
}收敛，且又{x
n
}收敛且极限不等于零，则从上述恒等式及极限相除法则，可知{y
n
}收敛，这与假设矛盾．若
，且{y
n
}发散，则{x
n
y
n
}可能收敛，也可能发散，如： ①x
n
=
y
n
=n，则x
n
y
n
=1，于是{x
n
y
n
}收敛； ②x
n
=
y
n
=(一1)
n
n，则x
n
y
n
=(一1)
n
，于是{x
n
y
n
}发散． 现在再就{x
n
}和{y
n
}都发散的情况来分析{x
n
y
n
}的敛散性．有下面的结论：若{x
n
}和{y
n
}都发散，且两者至少有一个是无穷大，则{x
n
y
n
}必发散．这是因为如果{x
n
y
n
}收敛，而{x
n
}为无穷大，从等式
【答案解析】