设3阶矩阵A，B满足关系式AB=A—B且A有三个不同的特征值．
证明：(Ⅰ)AB=BA：
(Ⅱ)存在可逆阵P，使得P
-1
AP，P
-1
BP同时为对角阵．
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)由题设 AB=A—B， ① 知 AB—A+B—E=一E， A(B—E)+(B—E)=一E， (A+E)(E一B)=E． ② 即A+E，E一B互为逆矩阵，且 (E—B)(A+E)=E， ③ 从而得 A—B一BA=O， ④ 由①，④式得证AB=BA． (Ⅱ)A有三个不同的特征值，故有三个线性无关的特征向量，设为ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
．则有 A(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)=(λ
1
ξ
1
，λ
2
ξ
2
，λ
3
ξ
3
)=(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)
， 两端左边乘B， BA(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)=B(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)
． 由(Ⅰ)AB=BA，得 AB(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)=B(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)
=B(λ
1
ξ
1
，λ
2
ξ
2
，λ
3
ξ
3
)， 得A(Bξ
i
)=λ
i
(Bξ
i
)，i=1，2，3． 若Bξ
i
≠0，则Bξ
i
是A的属于特征值λ
i
的特征向量，因λ
i
是单根，故对应相同的特征值的特征向量成比例．故Bξ
i
=μ
i
ξ
i
． 若Bξ
i
=0，则ξ
i
是B的属于特征值0的特征向量．无论何种情况，B都有三个线性无关的特征向量ξ
i
(i=1，2，3)．故A，B同时存在可逆阵P=(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)，使得P
—1
AP=
， 两端左边乘B， BA(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)=B(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)
． 由(Ⅰ)AB=BA，得 AB(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)=B(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)
=B(λ
1
ξ
1
，λ
2
ξ
2
，λ
3
ξ
3
)， 得A(Bξ
i
)=λ
i
(Bξ
i
)，i=1，2，3． 若Bξ
i
≠0，则Bξ
i
是A的属于特征值λ
i
的特征向量，因λ
i
是单根，故对应相同的特征值的特征向量成比例．故Bξ
i
=μ
i
ξ
i
． 若Bξ
i
=0，则ξ
i
是B的属于特征值0的特征向量．无论何种情况，B都有三个线性无关的特征向量ξ
i
(i=1，2，3)．故A，B同时存在可逆阵P=(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)，使得P
—1
AP=
【答案解析】