n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )
【正确答案】
D
【答案解析】解析：选项A是必要不充分条件．这是因为r(f)＝p＋q≤n，当q＝0时，有r(f)＝p≤n．此时有可能p＜n，故二次型χ
T
Aχ不一定是正定二次型．因此矩阵A不一定是正定矩阵．例如f(χ
1
，χ
2
，χ
3
)＝χ
1
2
5χ
3
2
选项B是充分不必要条件．这是因为P
-1
AP＝E表示A与E相似，即A的特征值全是1，此时A是正定的．但只要A的特征值全大于零就可保证A正定，因此特征值全是1是不必要的． 选项C中的矩阵C没有可逆的条件，因此对于A＝C
T
C不能说A与E合同，也就没有A是正定矩阵的结论．例如
显然矩阵不正定． 关于选项D，由于 A正定
A
-1
正定
A
*
正定 A
*
正定
显然矩阵不正定． 关于选项D，由于 A正定
A
-1
正定
A
*
正定 A
*
正定