单选题 设A,B均为n阶可逆矩阵,正确的法则是
  • A.(A+B)(A-B)=A2-B2
  • B.(A+B)-1=A-1+B-1
  • C.(A+B)2=A2+2AB+B2
  • D.(AB)*=B*A*
【正确答案】 D
【答案解析】[解析] 矩阵的乘法没有交换律,A、B可逆不能保证AB=BA,例如
[*]
可知(A)、(C)均不正确.
A、B可逆时,A+B不一定可逆,即使A+B可逆,其逆一般也不等于A-1+B-1.例如
[*]
而[*],所以(B)不正确.
因为A可逆时,A*=|A|A-1,故
(AB)*=|AB|(AB)-1=|A||B|B-1A-1=(|B|B-1)(|A|A-1)=B*A*
即(D)正确.
[评注] 因为矩阵乘法没有交换律,所以中学代数的乘法公式不能用,但因E和同阶方阵可交换,故(A+E)n可用乘法公式展开.