解答题
17.设f(x)在[a，b]上连续且单调减少，证明：当0＜k＜1时，
f(x)dx≥k
f(x)dx≥k
【正确答案】方法一
f(x)dx－k
f(x)dx＝
f(x)dx－k[
f(x)dx＋
f(x)dx]
＝(1－k)
f(x)dx－k
f(x)dx＝k(1－k)[f(ξ1)－f(ξ2)]，
其中ξ1∈[0，k]，ξ2∈[k，1]．因为0＜k＜1且f(x)单调减少，
所以
f(x)dx－k
f(x)dx＝k(1－k)[f(ξ1)－f(ξ2)]≥0，故
f(x)dx≥k
f(x)dx．
方法二
f(x)dx
f(kt)dt＝k
f(kx)dx，当x∈[0，1]时，因为0＜k＜1，所以kx≤x，
又因为f(x)单调减少，所以f(kx)≥f(x)，两边积分得
f(kx)dx≥
f(x)dx，
故k
f(kx)dx≥k
f(x)dx，即
f(x)dx≥k
f(x)dx－kf(x)dx＝f(x)dx－k[f(x)dx＋f(x)dx]＝(1－k)
f(x)dx－kf(x)dx＝k(1－k)[f(ξ1)－f(ξ2)]，其中ξ1∈[0，k]，ξ2∈[k，1]．因为0＜k＜1且f(x)单调减少，
所以
f(x)dx－kf(x)dx＝k(1－k)[f(ξ1)－f(ξ2)]≥0，故f(x)dx≥kf(x)dx．方法二
f(x)dxf(kt)dt＝kf(kx)dx，当x∈[0，1]时，因为0＜k＜1，所以kx≤x，又因为f(x)单调减少，所以f(kx)≥f(x)，两边积分得
f(kx)dx≥f(x)dx，故k
f(kx)dx≥kf(x)dx，即f(x)dx≥k【答案解析】