设f(x)在区间[a，b]上阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫
a
b
f(x)dx=(b－a)
【正确答案】正确答案：令F(x)=∫
a
x
f(t)dt，则F(x)在[a，b]上三阶连续可导，取x
0
=
，由泰勒公式得 F(a)=F(x
0
)+F
'
(x
0
)(a一x
0
)+
(a一x
0
)
3
，ξ
1
∈(a，x
0
)， F(b)=F(x
0
)+F
'
(x
0
)(b一x
0
)+
(b一x
0
)
3
，ξ
2
∈(x
0
，b)， 两式相减得F(b)一F(a)=F
'
(x
0
)(b一a)+
[F
'''
(ξ
1
)+F
'''
(ξ
2
)]，即 ∫
a
b
f(x)=(b一a)
[f
''
(ξ
1
)+f
''
(ξ
2
)]， 因为f
''
(x)在[a，b]上连续，所以存在ξ∈[ξ
1
，ξ
2
]
(a，b)，使得 f
''
(ξ)=
[f
''
(ξ
1
)+f
''
(ξ
2
)]，从而 ∫
a
b
f(x)dx=(b一a)
，由泰勒公式得 F(a)=F(x
0
)+F
'
(x
0
)(a一x
0
)+
(a一x
0
)
3
，ξ
1
∈(a，x
0
)， F(b)=F(x
0
)+F
'
(x
0
)(b一x
0
)+
(b一x
0
)
3
，ξ
2
∈(x
0
，b)， 两式相减得F(b)一F(a)=F
'
(x
0
)(b一a)+
[F
'''
(ξ
1
)+F
'''
(ξ
2
)]，即 ∫
a
b
f(x)=(b一a)
[f
''
(ξ
1
)+f
''
(ξ
2
)]， 因为f
''
(x)在[a，b]上连续，所以存在ξ∈[ξ
1
，ξ
2
]
(a，b)，使得 f
''
(ξ)=
[f
''
(ξ
1
)+f
''
(ξ
2
)]，从而 ∫
a
b
f(x)dx=(b一a)
【答案解析】