解答题
8.设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导，且当x→a时f(x)是x－a的n阶无穷小，求证：f(x)的导函数f'(x)当x→a时是x－a的n－1阶无穷小．
【正确答案】f(x)在x=a可展开成
由x→a时f(x)是(x－a)的n阶无穷小 =>
f(a)=f'(a)=…=f(n－1)(a)=0，f(n)(a)≠0．
又f(x)在x=a邻域(n－1)阶可导，f(n－1)(x)在x=a可导．
由g(x)=f'(x)在x=a处n－1阶可导 =>
g(x)=g(a)+g'(a)(x－a)+…+
g(n－1)(a)(x－a)n－1+o((x－a)n－1)，
由x→a时f(x)是(x－a)的n阶无穷小 =>
f(a)=f'(a)=…=f(n－1)(a)=0，f(n)(a)≠0．
又f(x)在x=a邻域(n－1)阶可导，f(n－1)(x)在x=a可导．
由g(x)=f'(x)在x=a处n－1阶可导 =>
g(x)=g(a)+g'(a)(x－a)+…+
g(n－1)(a)(x－a)n－1+o((x－a)n－1)，【答案解析】