计算题
8.设函数f(x)二阶可导，f"(x)≥0，x∈(一∞，+∞)，函数u在区间[a，b](a＞0)上连续，证明：
【正确答案】令
将f(x)在x=x0处展开成一阶泰勒公式：
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x一x0)+
(x一x0)2
由于f"(x)≥0，则f(x)≥f(x0)+f'(x0)(x一x0)。
令x=u(t)，则f(u(t))≥f(x0)+f'(x0)(u(t)一x0)。
上式两边[0，a]在上对t积分，得
∫0af[u(t)]dt≥∫0af(x0)dt+∫0af'(x0)[(u(t)一x0)]dt=af(x0)+f'(x0)[∫0a[(u(t)一x0)]dt=af(x0)
将f(x)在x=x0处展开成一阶泰勒公式：f(x)=f(x0)+f'(x0)(x一x0)+
(x一x0)2由于f"(x)≥0，则f(x)≥f(x0)+f'(x0)(x一x0)。
令x=u(t)，则f(u(t))≥f(x0)+f'(x0)(u(t)一x0)。
上式两边[0，a]在上对t积分，得
∫0af[u(t)]dt≥∫0af(x0)dt+∫0af'(x0)[(u(t)一x0)]dt=af(x0)+f'(x0)[∫0a[(u(t)一x0)]dt=af(x0)
【答案解析】