解答题
1.(1)证明方程xn+xn-1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间(
，1)内有且仅有一个实根；
(2)记上题中的实根为xn，证明
，1)内有且仅有一个实根；(2)记上题中的实根为xn，证明
【正确答案】(1)根据题意，令
f(x)=xn+xn-1+…+x一1，
则f(1)>0，又
结合零点定理可得f(x)=xn+xn-1+…+x一1在
内至少存在一个零点，即方程xn+xn-1+…+x=1在区间
内至少有一个实根。
又因为f(x)=xn+xn-1+…+x一1在
上是单调的，可知f(x)=xn+xn-1+…+x一1在
内最多只有一个零点。
综上所述，方程xn+xn-1+…+x=1在区间
内有且仅有一个实根。
(2)由题设f(xn)=0，可知xnn+xnn-1+…+xn一1=0，进而有xn+1n+1+xn+1n+。+…+xn+1一1=0，
所以
xn+1n+xn+1n+1+…+xn+1+1一1＜0，
比较上面两个式子可知xn+1＜xn，故{xn}单调递减。
又由(1)知
，也即{xn}是有界的。则由单调有界收敛定理可知{xn}收敛，假设
，可知a＜x2＜x1=1。
当n→∞时，有
解得
f(x)=xn+xn-1+…+x一1，
则f(1)>0，又
结合零点定理可得f(x)=xn+xn-1+…+x一1在
内至少存在一个零点，即方程xn+xn-1+…+x=1在区间内至少有一个实根。又因为f(x)=xn+xn-1+…+x一1在
上是单调的，可知f(x)=xn+xn-1+…+x一1在内最多只有一个零点。综上所述，方程xn+xn-1+…+x=1在区间
内有且仅有一个实根。(2)由题设f(xn)=0，可知xnn+xnn-1+…+xn一1=0，进而有xn+1n+1+xn+1n+。+…+xn+1一1=0，
所以
xn+1n+xn+1n+1+…+xn+1+1一1＜0，
比较上面两个式子可知xn+1＜xn，故{xn}单调递减。
又由(1)知
，也即{xn}是有界的。则由单调有界收敛定理可知{xn}收敛，假设，可知a＜x2＜x1=1。当n→∞时，有
解得
【答案解析】