解答题
25.设有曲线y=
【正确答案】 先求曲线y=
过原点的切线，然后再按旋转体表面积的计算公式求出其表面积．
设切点为(x0，
)，则曲线y=
在此点的切线斜率为1／(2
)，于是切线方程为
y一
=(x—x0)．
因该切线经过原点，将y∣x=0=0代入得x0=2，于是过原点的切线方程为y=x／2，而切点为(2，1)，如图1．3．5．5所示．
由曲线y=
(1≤x≤2)绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积为
S1=∫122πy
dx=π(5√5一1)／6．
由直线段y=x／2(0≤x≤2)绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积为
S2=∫022πy=
dx=∫022π·
dx=√5π．
故所求旋转体的表面积为S=S1+S2=π(11√5一1)／6．
过原点的切线，然后再按旋转体表面积的计算公式求出其表面积．设切点为(x0，
)，则曲线y=在此点的切线斜率为1／(2)，于是切线方程为y一
=(x—x0)．因该切线经过原点，将y∣x=0=0代入得x0=2，于是过原点的切线方程为y=x／2，而切点为(2，1)，如图1．3．5．5所示．
由曲线y=
(1≤x≤2)绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积为S1=∫122πy
dx=π(5√5一1)／6．由直线段y=x／2(0≤x≤2)绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积为
S2=∫022πy=
dx=∫022π·dx=√5π．故所求旋转体的表面积为S=S1+S2=π(11√5一1)／6．
【答案解析】