问答题
设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A
1
α线性无关，且A
3
α=3Aα-2A
2
α，证明：
问答题
矩阵B=[α，Aα，A
4
α]可逆
【正确答案】
【答案解析】[证明] 证一 由A
3
α=3Aα-2A
2
α得到
A 4 a=A·A 3 α=3A 2 α-2A 3 α=3A 2 α-2(3Aα-2A 2 α)=-6Aα+7A 2 α，
则
．
因
A 4 a=A·A 3 α=3A 2 α-2A 3 α=3A 2 α-2(3Aα-2A 2 α)=-6Aα+7A 2 α，
则
．
因
问答题
B
T
B为正定矩阵
【正确答案】
【答案解析】因(B
T
B)T=B
T
(B
T
)
T
=B
T
B，故B
T
B为实对称矩阵．
又对任意X≠0，因B可逆，有BX≠0，于是有
X T (B T B)X=(BX) T (BX)＞0，
故二次型X T B T BX是正定二次型，从而B T B为正定矩阵． [解析] 用定义证明X T B T 为正定二次型．
又对任意X≠0，因B可逆，有BX≠0，于是有
X T (B T B)X=(BX) T (BX)＞0，
故二次型X T B T BX是正定二次型，从而B T B为正定矩阵． [解析] 用定义证明X T B T 为正定二次型．