问答题
设函数f(x)在[0，1]上有连续导数，满足0＜f'(x)＜1且f(0)=0．求证：
【正确答案】证明 令[*]，显然F(0)=0．
因为0＜f'(x)＜1且f(0)=0．所以当x＞0时，f(x)＞0．
[*]
令[*](z)-2[*]f(t)dt-f2(x)，显然[*](0)=0．
[*](x)=2f(x)-2f(x)f'(x)=2f(x)(1-f'(x))＞0
所以当x＞0时，[*](x)＞0．
由题设知F'(x)＞0(x＞0)．当x＞0时F(x)≥F(0)=0．
所以F(1)≥F(0)=0，即[*]．
因为0＜f'(x)＜1且f(0)=0．所以当x＞0时，f(x)＞0．
[*]
令[*](z)-2[*]f(t)dt-f2(x)，显然[*](0)=0．
[*](x)=2f(x)-2f(x)f'(x)=2f(x)(1-f'(x))＞0
所以当x＞0时，[*](x)＞0．
由题设知F'(x)＞0(x＞0)．当x＞0时F(x)≥F(0)=0．
所以F(1)≥F(0)=0，即[*]．
【答案解析】[解析] 把原命题推广到一般情况，即把求证问题放宽至任意x∈[0，1]都有[*]．再把原命题当作推广命题的特殊情况．