解答题 19.设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,f'(a)f'(b)>0,且g(x)≠0(x∈[a,b],g''(x)≠0(a<x<b),证明:存在ξ∈(a,b),使得
【正确答案】设f'(a)>0,f'(6)>0,
由f'(a)>0,存在x1∈(a,b),使得f(x1)>f(a)=0;
由f'(b)>0,存在x2∈(a,b),使得f(x2)<f(b)=0,
因为f(x1)f(x2)<0,所以由零点定理,存在c∈(a,b),使得f(c)=0.
令h(x)=,显然h(x)在[a,b]上连续,由h(a)=h(c)=h(b)=0,
存在ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b),使得h'1)=h'2)=0,
而h'(x)=
令φ(x)=f'(x)g(x)一f(x)g'(x), φ(ξ1)=φ(ξ2)=0,
由罗尔定理,存在ξ∈(ξ1,ξ2)(a,b),使得φ'(ξ)=0,
而φ'(x)=f''(x)g(x)一f(x)g''(x),所以
【答案解析】