解答题
19.
设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,f
+
'
(a)f
-
'
(b)>0,且g(x)≠0(x∈[a,b],g
''
(x)≠0(a<x<b),证明:存在ξ∈(a,b),使得
【正确答案】
设f
+
'
(a)>0,f
-
'
(6)>0,
由f
+
'
(a)>0,存在x
1
∈(a,b),使得f(x
1
)>f(a)=0;
由f
-
'
(b)>0,存在x
2
∈(a,b),使得f(x
2
)<f(b)=0,
因为f(x
1
)f(x
2
)<0,所以由零点定理,存在c∈(a,b),使得f(c)=0.
令h(x)=
,显然h(x)在[a,b]上连续,由h(a)=h(c)=h(b)=0,
存在ξ
1
∈(a,c),ξ
2
∈(c,b),使得h
'
(ξ
1
)=h
'
(ξ
2
)=0,
而h
'
(x)=
令φ(x)=f
'
(x)g(x)一f(x)g
'
(x), φ(ξ
1
)=φ(ξ
2
)=0,
由罗尔定理,存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)
(a,b),使得φ
'
(ξ)=0,
而φ
'
(x)=f
''
(x)g(x)一f(x)g
''
(x),所以
【答案解析】
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