解答题
3.(2005年)已知函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝0，f(1)＝1．证明：
(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)＝1－ξ；
(Ⅱ)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f′(η)f′(ζ)＝1．
(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)＝1－ξ；
(Ⅱ)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f′(η)f′(ζ)＝1．
【正确答案】(Ⅰ)令g(χ)＝f(χ)＋χ－1，则g(χ)在[0，1]上连续，且
g(0)＝－1＜0，g(1)＝1＞0
所以存在ξ∈(0，1)，使得
g(ξ)＝f(ξ)＋ξ－1＝0
即f(ξ)＝1－ξ．
(Ⅱ)根据拉格朗日中值定理，存在η∈(0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，使得
g(0)＝－1＜0，g(1)＝1＞0
所以存在ξ∈(0，1)，使得
g(ξ)＝f(ξ)＋ξ－1＝0
即f(ξ)＝1－ξ．
(Ⅱ)根据拉格朗日中值定理，存在η∈(0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，使得
【答案解析】