解答题
15.设曲线y=y(x)，x∈[0，t]，y(x)≥0．若y=y(x)在[0，t]上的曲边梯形绕x轴旋转所得的旋转体体积的形心坐标为(
，0)，
，0)，
【正确答案】如下图取旋转体体积微元：
dV=πy2(x)dx．
则旋转体形心坐标(
，0)应满足
由题意得到
y2(x)dx，
两边对t求导得到
ty2(t)=
ty2(t)．
求导再化简得到
[y2(t)+2ty(t)y′(t)]=
5y2(t)．
即2t
dV=πy2(x)dx．
则旋转体形心坐标(
，0)应满足由题意得到
y2(x)dx，两边对t求导得到
ty2(t)=
ty2(t)．求导再化简得到
[y2(t)+2ty(t)y′(t)]=5y2(t)．即2t
【答案解析】由形心坐标的积分表示得到y′(x)满足的微分方程，解之即得所求曲线方程y=y(x)．