【正确答案】
等价于∫
01f
2(x)dx∫
01xf(x)dx≥∫
01f(x)dx∫
01xf
2(x)dx,
等价于∫
01f
2(x)dx∫
01yf(y)dy≥∫
01f(x)dx∫
01yf
2(y)dy,或者
∫
01dx∫
01yf(x)f(y)[f(x)一f(y)]dy≥0
令I=∫
01dx∫
01yf(x)f(y)[f(x)一f(y)]dy,
根据对称性I=∫
01dx∫
01xf(x)y(y)[f(y)一f(x)]dy,
2I=∫
01dx∫
01f(x)f(y)(y—x)[f(x)一f(y)]dy,
因为f(x)>0且单调减少,所以(y—x)[f(x)一f(y)]≥0,于是2I≥0,或I≥0,
所以
