设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r(
【正确答案】正确答案：因为r(A)=r＜n，所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n－r个线性无关的解向量，设为ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
n－r
． 设η
0
为方程组AX=b的一个特解， 令β
0
=η
0
，β
1
=ξ
1
+η
0
，β
2
=ξ
2
+η
0
…，β
n－r
=ξ
n－r
+η
0
，显然β
0
，β
1
，β
2
，…，β
n－r
，为方程组AX=b的一组解． 令k
0
β
0
+k
1
β
1
+…+k
n－r
β
n－r
=0，即 (k
0
+k
1
+…+k
n－r
)η
0
+k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n－r
ξ
n－r
=0， 上式两边左乘A得(k
0
+k
1
+…+k
n－r
)b=0， 因为b为非零列向量，所以k
0
+k
1
+…+k
n－r
=0，于是 k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n－r
ξ
n－r
=0， 注意到ξ
1
，ξ
2
，…，ξ
n－r
，线性无关，所以k
1
=k
2
=…=k
n－r
0， 故β
0
，β
1
，β
2
，…，β
n－r
性无关，即方程组AX=b存在由n=r+1个线性无关的解向量构成的向量组．设β
1
，β
2
，…，β
n－r+2
为方程组AX=b的一组线性无关解， 令γ
1
=β
2
－β
1
，γ
2
=β
3
－β
1
，…，γ
n－r+1
=β
n－r+2
－β
1
，根据定义，易证γ
1
，γ
2
，…，γ
n－r+1
线性无关，又γ
1
，γ
2
，…，γ
n－r+1
为齐次线性方程组AX=0的一组解，即方程组AX=0含有n－r+1个线性无关的解，矛盾，所以AX=b的任意n－r+2个解向量都是线性相关的，所以AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n－r+1个．
【答案解析】