(1998年试题，三)求直线
【正确答案】正确答案：由题设，本题分两个大部分，一是求l在π的投影l
0
，二是求由l
0
生成的旋转曲面，其中第一部分是第二部分的基础．因为投影直线l
0
是经过直线l且与平面π垂直的平面与平面π的交线，因此只需求得此平面即可，设其为π
1
，下面先求平面π
1
的法向量n
1
，同时设平面π的法向量为n，由已知n={1，一1，2}，由于，n
1
⊥n，且n
1
垂直直线l的方向向量{1，1，一1}，因此n
1
={1，一1，2}×{1，1，一1}={一1，3，2}又因为直线f在平面π
1
内，因而直线l上的点(1，0，1)也是平面π
1
内的点，综上可得出平面π
1
的方程为一(x—1)+3(y一0)+2(z—1)=0化简得x一3y一2x+l=0．由此，直线l在平面π上的投影直线l
0
的方程为
以下再求l
0
绕y轴旋转所生成的旋转曲面S．设点A(x，y，z)在S上．过A作平面
2
平行于Oxz平面，即垂直于y轴，则霄π
2
与y轴交点为B(0，y，0)，并设π
2
与l
2
交点为C(x
1
，y，z
1
)，由L
0
的方程不难确定出x
1
=2y及
又由几何关系｜AB｜=｜CB｜，即距离相等，有x
2
+z
2
=x
1
2
+z
1
2
=4y
2
+
(1一y)
2
化简为4x
2
一17y
2
+4z
2
+2y=1，由点A(x，y，z)的任意性，知上式就是所求旋转曲面S的方程．解析二本题第一部分求投影直线l
0
的方程的过程中，在求平面π
1
的方程时，也可采用平面束的方法，将直线l的方程化为一般形式：
以下再求l
0
绕y轴旋转所生成的旋转曲面S．设点A(x，y，z)在S上．过A作平面
2
平行于Oxz平面，即垂直于y轴，则霄π
2
与y轴交点为B(0，y，0)，并设π
2
与l
2
交点为C(x
1
，y，z
1
)，由L
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的方程不难确定出x
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=2y及
又由几何关系｜AB｜=｜CB｜，即距离相等，有x
2
+z
2
=x
1
2
+z
1
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=4y
2
+
(1一y)
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化简为4x
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一17y
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+4z
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+2y=1，由点A(x，y，z)的任意性，知上式就是所求旋转曲面S的方程．解析二本题第一部分求投影直线l
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的方程的过程中，在求平面π
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的方程时，也可采用平面束的方法，将直线l的方程化为一般形式：
【答案解析】