问答题
设A是3×3矩阵，α
1
，α
2
，α
3
是3维列向量，且线性无关，已知
Aα
1
=α
2
+α
3
，Aα
2
=α
1
+α
3
，Aα
3
=α
1
+α
2
．
(1)证明Aα
1
，Aα
2
，Aα
3
线性无关；(2)求|A|．
【正确答案】正确答案：(1)[Aα
1
，Aα
2
，Aα
3
]=[α
2
+α
3
，α
1
+α
3
，α
1
+α
2
]=[α
1
，α
2
，α
3
]
[α
1
,α
2
，α
3
]C，可得|C|=
=2≠0，C是可逆矩阵，故Aα
1
，Aα
2
，Aα
3
和α
1
，α
2
，α
3
是等价向量组，故Aα
1
，Aα
2
，Aα
3
线性无关． (2)[Aα
1
，Aα
2
，Aα
3
]=A[α
1
，α
2
，α
3
]=[α
1
，α
2
，α
3
]
两边取行列式，得
[α
1
,α
2
，α
3
]C，可得|C|=
=2≠0，C是可逆矩阵，故Aα
1
，Aα
2
，Aα
3
和α
1
，α
2
，α
3
是等价向量组，故Aα
1
，Aα
2
，Aα
3
线性无关． (2)[Aα
1
，Aα
2
，Aα
3
]=A[α
1
，α
2
，α
3
]=[α
1
，α
2
，α
3
]
两边取行列式，得
【答案解析】