问答题
考虑用以下生产函数描述的一个经济：Y=F(K，L)=K
0.3
L
0.7
。
a．人均生产函数是什么?
b．假定没有人口增长或技术进步，找出稳定状态的人均资本存量、人均产出，以及作为储蓄率和折旧率函数的人均消费。
c．假定折旧率是每年10%。作一个表，表示储蓄率分别为0、10%、20%、30%等时，稳定状态的人均资本、人均产出和人均消费。(你需要用一个有指数键的计算器来计算这个问题。)使人均产出最大化的储蓄率是多少?使人均消费最大化的储蓄率是多少?
d．(本题较难)用微积分找出资本的边际产量。在你的表上增加一项——每种储蓄率下的资本的边际产量减折旧。你的表说明了什么?
a．人均生产函数是什么?
b．假定没有人口增长或技术进步，找出稳定状态的人均资本存量、人均产出，以及作为储蓄率和折旧率函数的人均消费。
c．假定折旧率是每年10%。作一个表，表示储蓄率分别为0、10%、20%、30%等时，稳定状态的人均资本、人均产出和人均消费。(你需要用一个有指数键的计算器来计算这个问题。)使人均产出最大化的储蓄率是多少?使人均消费最大化的储蓄率是多少?
d．(本题较难)用微积分找出资本的边际产量。在你的表上增加一项——每种储蓄率下的资本的边际产量减折旧。你的表说明了什么?
【正确答案】
【答案解析】a．对生产函数两端同除L，得：
令y=Y/L，k=K/L，所以：
f(k)=y=k 0.3
b．稳定状态的条件为：ΔK=sf(k)-δk=0
或者也可以写成：
将人均产出函数代入得：
解得：
再将它代入人均产出函数得：
人均消费等于人均产出减去人均储蓄，而人均储蓄在稳定状态下等于人均资本的折旧，所以稳定状态人均消费等于人均产出减去人均资本折旧：
e
也可以这么解：
因为人均消费等于人均产出减人均储蓄，那么人均消费就是人均产出的(1-s)倍，即：
通过代数变化可以发现两种结果是等价的。
c．由表可以清晰地看到：当储蓄率为100%时(s=1)，人均产出可以达到最大值2.68，但是此时消费为零，所有产出都用来投资了。而最大的人均消费(1.12)位于30%的储蓄率(s=0.3)，这就是黄金律水平，在这个水平下，资本的边际产出等于折旧率，并且储蓄率等于资本在产出中的贡献。
d．对生产函数Y=K
0.3
L
0.7
关于K求导，得：
令y=Y/L，k=K/L，所以：
f(k)=y=k 0.3
b．稳定状态的条件为：ΔK=sf(k)-δk=0
或者也可以写成：
将人均产出函数代入得：
解得：
再将它代入人均产出函数得：
人均消费等于人均产出减去人均储蓄，而人均储蓄在稳定状态下等于人均资本的折旧，所以稳定状态人均消费等于人均产出减去人均资本折旧：
e
也可以这么解：
因为人均消费等于人均产出减人均储蓄，那么人均消费就是人均产出的(1-s)倍，即：
通过代数变化可以发现两种结果是等价的。
c．由表可以清晰地看到：当储蓄率为100%时(s=1)，人均产出可以达到最大值2.68，但是此时消费为零，所有产出都用来投资了。而最大的人均消费(1.12)位于30%的储蓄率(s=0.3)，这就是黄金律水平，在这个水平下，资本的边际产出等于折旧率，并且储蓄率等于资本在产出中的贡献。
|
不同储蓄率下稳定状态的人均资本、人均产出和人均消费
|
||||
| s | k * | y * | c * | MPK |
| 0 | 0.00 | 0.00 | 0.00 | |
| 0.1 | 1.00 | 1.00 | 0.90 | 0.30 |
| 0.2 | 2.69 | 1.35 | 1.08 | 0.15 |
| 0.3 | 4.80 | 1.60 | 1.12 | 0.10 |
| 0.4 | 7.25 | 1.81 | 1.09 | 0.08 |
| 0.5 | 9.97 | 1.99 | 1.00 | 0.06 |
| 0.6 | 12.93 | 2.16 | 0.86 | 0.05 |
| 0.7 | 16.12 | 2.30 | 0.69 | 0.04 |
| 0.8 | 19.50 | 2.44 | 0.49 | 0.04 |
| 0.9 | 23.08 | 2.56 | 0.26 | 0.03 |
| 1 | 26.83 | 2.68 | 0.00 | 0.03 |