已知二次型f(x
1
，x
2
，x
3
=4x
2
2
一3x
3
2
+4x
1
x
2
—4x
1
x
3
+8x
2
x
3
。
问答题
写出二次型f的矩阵表达式；
【正确答案】正确答案：二次型的矩阵为
【答案解析】
问答题
用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵。
【正确答案】正确答案：矩阵A的特征多项式为 ｜λE—A｜=
=(λ—1)(λ一6)(λ+6)， 矩阵A的特征值为λ
1
=1，λ
2
=6，λ
3
=一6。 由(λ
i
E—A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ
1
=1，λ
2
=6，λ
3
=一6对应的特征向量分别为 α
1
=(一2，0，1)
T
，α
2
=(1，5，2)
T
，α
3
=(1，一1，2)
T
， 由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以可直接将α
1
，α
2
，α
3
单位化，即
=(λ—1)(λ一6)(λ+6)， 矩阵A的特征值为λ
1
=1，λ
2
=6，λ
3
=一6。 由(λ
i
E—A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ
1
=1，λ
2
=6，λ
3
=一6对应的特征向量分别为 α
1
=(一2，0，1)
T
，α
2
=(1，5，2)
T
，α
3
=(1，一1，2)
T
， 由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以可直接将α
1
，α
2
，α
3
单位化，即
【答案解析】