单选题
18.
已知y
1
=xe
x
+e
2x
和y
2
=xe
x
+e
-x
是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解,则此方程为 ( )
A、
y"一2y'+y=e
2x
B、
y"一y'一2y=xe
x
C、
y"一y'一2y=e
x
一2xe
x
D、
y"一y=e
2x
【正确答案】
C
【答案解析】
非齐次线性方程两解之差必为对应齐次方程之解,由y
1
一y
2
=e
2x
-e
-x
及解的结构定理知对应齐次方程通解为y=C
1
e
2x
+C
2
e
-x
,故特征根r
1
=2,r
2
=一1.对应齐次线性方程为
y"一y'一2y=0.
再由特解y*=xe
x
知非齐次项
f(x)=y*"一y*'一2y*=e
x
一2xe
x
,
于是所求方程为
y"一y'—2y=e
x
一2xe
x
.
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