计算I＝
，其中： (Ⅰ)∑为球面z＝
(a＞0)的上侧； (Ⅱ)∑为椭球面
，其中： (Ⅰ)∑为球面z＝(a＞0)的上侧； (Ⅱ)∑为椭球面
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)积分曲面∑为球面，将z＝
(a＞0)代入，有
曲面∑的法向量为(χ，y，z)，故有
整理可得dydz＝
dχdy，dzdχ＝
dχdy， 故
其中D
χy
＝{(χ，y)｜χ
2
＋y
2
≤a
2
}为球面∑在χoy面的投影，由于曲面方向取上侧，故
(Ⅱ)为了避免积分区域包含原点，在(0，0．0)附近取球面∑
1
：z＝
，其中半径a为足够小的正数，方向取内侧，在该球面以外的区域取平面乏∑
2
＝0，
≤1，方向向下。
其中。第一个曲面积分采用高斯公式，题中所给方向为正向，记Ω为封闭曲面∑＋∑
1
＋∑
2
所围区域，
由(Ⅰ)中结论，可知
(a＞0)代入，有
曲面∑的法向量为(χ，y，z)，故有
整理可得dydz＝
dχdy，dzdχ＝
dχdy， 故
其中D
χy
＝{(χ，y)｜χ
2
＋y
2
≤a
2
}为球面∑在χoy面的投影，由于曲面方向取上侧，故
(Ⅱ)为了避免积分区域包含原点，在(0，0．0)附近取球面∑
1
：z＝
，其中半径a为足够小的正数，方向取内侧，在该球面以外的区域取平面乏∑
2
＝0，
≤1，方向向下。
其中。第一个曲面积分采用高斯公式，题中所给方向为正向，记Ω为封闭曲面∑＋∑
1
＋∑
2
所围区域，
由(Ⅰ)中结论，可知
【答案解析】