假定一个人是严格风险规避型的， 拥有初始财富w， 但是也有概率为π的可能性损失D元钱。 然而， 他可以购买保险。 一份保险的保费是q元钱； 如果损失发生，赔偿1元钱。 他的效用定义在其财富水平上， 函数记为u， 购买保险的数量（份数）为α。
写出这个人的期望效用最大化问题。
假如他购买保险， 则他有π的概率获得W－D－αq＋α的财富， 有1－π的概率获得W－αq的财富， 所以他的期望效用最大化问题为： Max Eu＝π·u（W－D－αq＋α） ＋（1－π） ·u（W－αq） 。
假设在最优点处α＞0。 写出这个优化问题的一阶条件。
上述期望效用对α求一阶导得：
假定保险在精算上是公平的， 即购买保险的成本等于它带来的预期收益。请找到最优的保险购买数量α 。
假定这个人为他的汽车投了保险， 而且他每周一次驾车去永和大王吃油条。他在停车的时候有两个选择： 一是熄火锁车， 但是再启动需要他费更多的功夫（车太旧了！ ） ， 我们用e来测量他费的功夫； 当他在饭店里时， 有概率π（e） 的可能车被偷走。 二是不熄火（因此不需费任何功夫） ， 他有π（0） 的可能车被偷走， 而且π（0） ＞π（e） 。
购买一份保险的成本为q， 收益为π·1＝π， 若保险在精算上是公平的，则q＝π， 将该式代入（2） 中所得一阶条件， 得u′（W－D－αq＋α） ＝u′（W－αq） ，则W－D－αq＋α＝W－αq， 解得此时最优的保险购买数量为α * ＝D。
假定他购买了（3） 中同样数量的保险。 证明他总是选择不熄火。
令us ＝u（W－D－αq＋α） 表示当车被偷走时这个人的效用， uu ＝u（W－αq） 表示车没被偷走时这个人的效用， 则当该人选择熄火时， 其期望效用为： Eu1＝π（e） ·us ＋[1－π（e） ]·（uu －e） 。
当该人选择不熄火时， 其期望效用为： Eu2 ＝π（0） ·us＋[1－π（0） ]·uu 。
则这两种选择的期望效用之差为：
Eu1 －Eu2 ＝[π（e） －π（0） ]·us ＋[π（0） －π（e） ]uu －[1－π（e） ]e＝[π（0）－π（e） ]（uu －us ） －[1－π（e） ]e
当这个人购买了（3） 中同样数量的保险时， 即当α＝D时， 有：
us＝u（W－D－αq＋α） ＝u（W－αq） ＝uu
此时， Eu1 －Eu2 ＝0－[1－π（e） ]e＝－[1－π（e） ]e＜0， 即Eu1 ＜Eu2 ， 因此，这个人将总是选择不熄火， 证毕。
假定效用函数为u（x） ＝ln（x） 。 证明： 为了让他选择熄火， 购买保险的数量α＜D。
为了让这个人选择熄火， 必须使得Eu1 ≥Eu2 ， 化简得：
