问答题
设η
1
，η
2
，η
3
为3个n维向量，已知n元齐次方程组AX=0的每个解都可以用η
1
，η
2
，η
3
线性表示，并且r(A)=n一3，证明η
1
，η
2
，η
3
为AX=0的一个基础解系．
【正确答案】正确答案：因为r(A)=n一3，所以AX=0的基础解系包含3个解．设γ
1
，γ
2
，γ
3
是AX=0的一个基础解系，则条件说明γ
1
，γ
2
，γ
3
可以用η
1
，η
2
，η
3
线性表示．于是有下面的关于秩的关系式： 3=r(γ
1
，γ
2
，γ
3
)≤r(η
1
,η
2
，η
3
；γ
1
，γ
2
，γ
3
)=r(η
1
，η
2
，η
3
)≤3， 从而 r(γ
1
，γ
2
，γ
3
) =r(η
1
，η
2
，η
3
；γ
1
，γ
2
，γ
3
)=r(η
1
，η
2
，η
3
)， 这说明η
1
，η
2
，η
3
和γ
1
，γ
2
，γ
3
等价，从而η
1
，η
2
，η
3
也都是AX=0的解；又r(η
1
，η
2
，η
3
)=3，即η
1
，η
2
，η
3
线性无关，因此是AX=0的一个基础解系．
【答案解析】