解答题
16.设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝5χ12＋aχ22＋3χ32－2χ1χ2＋6χ1χ3－6χ2χ3的矩阵合同于
【正确答案】(Ⅰ)令
则f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX．
因为A与
合同，所以r(A)＝2＜3，故｜A｜＝0．
由｜A｜＝
＝3(2a－10)＝0得a＝5，A＝
．
(Ⅱ)由｜λE－A｜＝
＝λ(λ－4)(λ－9)＝0得λ1＝0，λ2＝4，λ3＝9．
由(0E－A)X＝0得ξ1＝
；
由(4E－A)X＝0得ξ2＝
；
由(9E－A)X＝0得ξ3＝
，
单位化得
则f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX．因为A与
合同，所以r(A)＝2＜3，故｜A｜＝0．由｜A｜＝
＝3(2a－10)＝0得a＝5，A＝．(Ⅱ)由｜λE－A｜＝
＝λ(λ－4)(λ－9)＝0得λ1＝0，λ2＝4，λ3＝9．由(0E－A)X＝0得ξ1＝
；由(4E－A)X＝0得ξ2＝
；由(9E－A)X＝0得ξ3＝
，单位化得
【答案解析】