设三阶矩阵A的特征值λ
1
=1，λ
2
=2，λ
3
=3对应的特征向量依次为α
1
=（1，1，1）
T
，α
2
=（1，2，4）
T
，α
3
=（1，3，9）
T
。
（Ⅰ）将向量β=（1，1，3）
T
用α
1
，α
2
，α
3
线性表示；
（Ⅱ）求A
T
β。
【正确答案】正确答案：（Ⅰ）设x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=β，即
解得x
1
=2，x
2
=—2，x
3
=1，故β=2α
1
—2α
2
+α
3
。 （Ⅱ）Aβ=2Aα
1
—2Aα
2
+Aα
3
，则由题设条件可得 A
n
β=2A
*
α
1
—2A
n
α
2
+A
n
α
3
=2α
1
—2×2
n
α
2
+3
n
α
3
=
解得x
1
=2，x
2
=—2，x
3
=1，故β=2α
1
—2α
2
+α
3
。 （Ⅱ）Aβ=2Aα
1
—2Aα
2
+Aα
3
，则由题设条件可得 A
n
β=2A
*
α
1
—2A
n
α
2
+A
n
α
3
=2α
1
—2×2
n
α
2
+3
n
α
3
=
【答案解析】