问答题
(1)叙述二元函数z=f(x，y)在点(x
0
，y
0
)处可微及微分dz｜
x0－y0
的定义；
(2)证明下述可微的必要条件定理：设z=f(x，y)在点(x
0
，y
0
)处可微，则f
x
'(x
0
，y
0
)与f
y
'(x
0
，y
0
)都存在，且dz｜
x0－y0
=f
x
'(x
0
，y
0
)△x+f
y
'(x
0
，y
0
)△y；
(3)请举例说明(2)的逆定理不成立．
【正确答案】正确答案：(1)定义：设z=f(x，y)在点(x
0
，y
0
)的某邻域U内有定义，且(x
0
+△x，y
0
+△y)∈U，则增量 △z=f(x
0
+△x，y
0
+△y)－f(x
0
，y
0
)
A△x+B△y+o(ρ)， (*) 其中A，B与△x，△y都无关，
则称f(x，y)在点(x
0
，y
0
)处可微， 并称A△x+B△y为z=f(x，y)在点(x
0
，y
0
)处的全微分，记为dz｜
(x0，y0)
=A△x+B△y． (2)设z=f(x，y)在点(x
0
，y
0
)处可微，则(*)式成立，令△y=0，于是
证明了f
x
'(x
0
，y
0
)与f
y
'(x
0
，y
0
)存在，并且dz｜
(x0，y0)
=f
x
'(x
0
，y
0
)△x+f
y
'(x
0
，y
0
)△y． (3)(2)的逆定理不成立，反例
A△x+B△y+o(ρ)， (*) 其中A，B与△x，△y都无关，
则称f(x，y)在点(x
0
，y
0
)处可微， 并称A△x+B△y为z=f(x，y)在点(x
0
，y
0
)处的全微分，记为dz｜
(x0，y0)
=A△x+B△y． (2)设z=f(x，y)在点(x
0
，y
0
)处可微，则(*)式成立，令△y=0，于是
证明了f
x
'(x
0
，y
0
)与f
y
'(x
0
，y
0
)存在，并且dz｜
(x0，y0)
=f
x
'(x
0
，y
0
)△x+f
y
'(x
0
，y
0
)△y． (3)(2)的逆定理不成立，反例
【答案解析】