填空题
设f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，当x∈(0，+∞)时f(x)＞0且单调上升，x=g(y)为y=f(x)的反函数，它们满足
- 1、
【正确答案】
1、{{*HTML*}}f(x)=x2(x≥0)．
【答案解析】[分析一] 由定积分的几何意义知：
[*]f(x)dx=由曲线y=f(x)，x、y轴及直线x=t＞0所围成的曲边梯形的面积，
[*]g(y)dy=由曲线x=g(y)，y轴(y≥f(0))及直线y=f(t)所围成的曲边三角形的面积．
x=g(y)与y=f(x)互为反函数，代表同一条曲线，它们面积之和是长方形面积(边长分别为t与f(t))，见图．
[*]
于是[*]
因此tf(t)=t3，f(t)=t2(t≥0)
即f(x)=x2(x≥0)
[分析二] 先化简题设方程的左端式子，有
[*]
于是[*]
即tf(t)=t3,f(t)=t2(t≥0)
因此f(x)=x2(x≥0)
[分析三] 将题设方程两边求导得
[*]
即f(t)+g[f(t)]f'(t)=3t2
f(t)+tf'(t)=3t2
亦即[tf(t)]'=3t2
(原方程中令t=0，等式自然成立，不必另加条件)．将上式积分得
tf(t)=t3+C，即[*]
因f(t)在[0，+∞)上连续，故必有C=0．
因此f(x)=x2(x≥0)．
[*]f(x)dx=由曲线y=f(x)，x、y轴及直线x=t＞0所围成的曲边梯形的面积，
[*]g(y)dy=由曲线x=g(y)，y轴(y≥f(0))及直线y=f(t)所围成的曲边三角形的面积．
x=g(y)与y=f(x)互为反函数，代表同一条曲线，它们面积之和是长方形面积(边长分别为t与f(t))，见图．
[*]
于是[*]
因此tf(t)=t3，f(t)=t2(t≥0)
即f(x)=x2(x≥0)
[分析二] 先化简题设方程的左端式子，有
[*]
于是[*]
即tf(t)=t3,f(t)=t2(t≥0)
因此f(x)=x2(x≥0)
[分析三] 将题设方程两边求导得
[*]
即f(t)+g[f(t)]f'(t)=3t2
f(t)+tf'(t)=3t2
亦即[tf(t)]'=3t2
(原方程中令t=0，等式自然成立，不必另加条件)．将上式积分得
tf(t)=t3+C，即[*]
因f(t)在[0，+∞)上连续，故必有C=0．
因此f(x)=x2(x≥0)．